##  [Injektive Auflösung](/de/node/60238) 

 Definition

Ein exakter Kettenkomplex I• aus injektiven Objekten zusammen mit einem Monomorphismus M → I0, der das gegebene Objekt bzw. Modul M einbettet, so dass M → I• in positiven Graden eine Quasi-Isomorphie ist; dient zur Berechnung rechter abgeleiteter Funktoren durch Anwenden eines links-exakten Funktors auf I• und Bilden der Homologie.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ersetze ein Objekt durch einen homologisch äquivalenten Komplex aus Injektiven, so dass das Anwenden links-exakter Funktoren genügend Exaktheit erhält, um das Versagen der Exaktheit mittels Homologiegruppen zu messen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für ein R-Modul M über einem Ring mit genügend Injektiven wähle eine injektive Auflösung 0 → M → I0 → I1 → I2 → ···; durch Anwenden von Hom_R(−,N) erhält man einen Komplex, dessen Kohomologie in Grad n Ext^n_R(M,N) ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Verwendung einer nicht-exakten Einbettung oder eines Komplexes von nicht-injektiven Objekten und anschließendes Interpretieren der resultierenden Homologie als korrekte rechten abgeleiteten Funktoren; oder der Versuch, eine injektive Auflösung zur Berechnung linkserabgeleiteter Funktoren ohne Dualisierung zu verwenden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekt konstruierte injektive Auflösungen liefern wohldefinierte rechte abgeleitete Funktoren (R^iF), lange exakte Folgen in der Kohomologie und Invarianz bis auf Homotopie bzw. Quasi-Isomorphie; sie ermöglichen explizite Berechnungen von Ext und Garbenkohomologie in geeigneten Kategorien.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die projektive Auflösung ist die duale Konstruktion: Sie löst Objekte durch Projektive und wird zur Berechnung linkserabgeleiteter Funktoren wie Tor verwendet, nicht zur Berechnung rechter Ableitungen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Existiert und ist nützlich in abelschen Kategorien mit genügend Injektiven; in Kategorien ohne genügend Injektive muss man zu abgeleiteten Kategorien wechseln, injektive Modellstrukturen benutzen oder andere Auflösungen (z. B. Čech- oder Godement-Auflösungen für Garben) einsetzen. Die Auflösung ist nicht kanonisch, aber bis auf Homotopie/Quasi-Isomorphie eindeutig.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen minimalen oder kanonischen injektiven Auflösungen (wenn vorhanden) und beliebigen injektiven Auflösungen; außerdem zwischen injektiver und projektiver Vorgehensweise — beide berechnen abgeleitete Funktoren, jedoch jeweils auf der rechten bzw. linken Seite und unter unterschiedlichen Existenzbedingungen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine injektive Auflösung ist die Einbettung eines Objekts in einen homologisch äquivalenten Komplex aus Injektiven, die das Problem, das Versagen eines links-exakten Funktors zu messen, in die Berechnung von Kohomologiegruppen überführt, die die rechten abgeleiteten Funktoren darstellen.