## [Funtor](/de/node/60214) Definition Ein Funktor F zwischen Kategorien C und D, der jedem Objekt X von C ein Objekt F(X) von D und jedem Morphismus f: X→Y in C einen Morphismus F(f): F(X)→F(Y) in D zuordnet, wobei Identitäten (F(id_X)=id_{F(X)}) und Komposition (F(g◦f)=F(g)◦F(f)) erhalten bleiben. ## Prinzip Prinzip Ein Funktor übersetzt Objekte und Morphismen eines kategorialen Kontexts in einen anderen unter Wahrung der Kompositionsstruktur und ermöglicht so Vergleich und Transfer von Konstruktionen. ## Demonstration Demonstration Der Potenzmengen-Funktor P: Set → Set ordnet jeder Menge X ihre Potenzmenge P(X) zu und jeder Abbildung f: X→Y die Abbildung P(f): P(X)→P(Y) durch Bildbildung S ↦ f(S); Identitäten und Komposition bleiben erhalten. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Abbildung von Objekten und Morphismen zu definieren, die Komposition nicht erhält (z. B. Komposite auf nicht-komponierbare Bilder abbildet) oder Identitäten nicht abbildet, zerstört Funktorialität und bricht induzierte Strukturen wie Naturalität. ## Konsequenz Konsequenz Funktoren erlauben den Transport von Limiten, Kolimiten, algebraischer Struktur und Eigenschaften zwischen Kategorien und die Bildung von Kategorien von Funktoren; sie sind die Morphismen der 'Kategorie der Kategorien'. ## Umkehrung Umkehrung Ein kontravarianter Funktor kehrt die Pfeilrichtung um (ordnet f: X→Y ein F(f): F(Y)→F(X) zu); das Ignorieren der Varianz verändert, was erhalten bzw. invertiert wird, und beeinflusst Adjunktionen. ## Abgrenzung Abgrenzung Schließt Abbildungen aus, die nur auf Objektebene oder nur auf Morphismusebene wirken; angereicherte oder schwache (laxe) Funktoren lockern Erhaltungseigenschaften und gehören nicht zur strikten Definition ohne Zusatzangabe. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen der Auffassung von Funktoren als bloße Objektzuordnungen und als struktur­erhaltende Transformationen; entscheidend ist die Erhaltung von Identitäten und Komposition, nicht nur Korrespondenz der Objekte. ## Synthese Synthese Ein Funktor F: C→D ist ein struktur­erhaltender Übersetzer zwischen Kategorien, der Objekte auf Objekte und Morphismen auf Morphismen abbildet und dabei Identitäten und Komposition respektiert, wodurch kategoriale Konstruktionen kohärent übertragen werden.