##  [Eindeutiger Faktorisierungsbereich](/de/node/60202) 

 Definition

Ein Integritätsbereich, in dem jedes nichtnullte, nicht invertierbare Element in irreduzible Faktoren zerlegt werden kann und diese Zerlegung bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten eindeutig ist; üblicherweise UFD abgekürzt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eindeutige Faktorisierung verallgemeinert den Fundamentalsatz der Arithmetik auf allgemeine Bereiche: Elemente zerfallen in atomare irreduzible Faktoren, und die multiplikative Mehrdeutigkeit ist auf Einheiten und Permutation beschränkt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Z ist ein UFD, weil jede ganze Zahl eindeutig (bis auf Vorzeichen und Reihenfolge) in Primzahlen zerfällt; Polynomringe k[x1,...,xn] über einem Körper sind UFDs durch den Satz von Gauss und Induktion über die Anzahl der Variablen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu glauben, einzigartige Faktorisierung gelte in jedem noetherschen Bereich oder irreduzibel = prim im Allgemeinen; es gibt noethersche Bereiche, in denen Irreduzible keine eindeutige Zerlegung garantieren oder Prim- und Irreduzible auseinanderfallen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

In einem UFD sind Teilbarkeitsfragen und ggT-Berechnungen gut handhabbar; Prim- und irreduzible Elemente stimmen überein in einer Weise, die die Arithmetik und die Idealzerlegung in Hauptprimideale bei PID vereinfacht.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Bereich ohne eindeutige Faktorisierung zeigt verschiedene nicht-assoziierte irreduzible Zerlegungen desselben Elements; dieses Versagen motiviert die Untersuchung von Klassengruppen, Faktorisierungsinvarianten und nicht-eindeutigen arithmetischen Phänomenen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

UFD setzt einen Integritätsbereich voraus; es impliziert nicht, dass alle Ideale principal sind, und folgt nicht allein aus Noetherschaft; lokale Eigenschaften können gelten, ohne dass der Bereich global UFD ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Die Begriffe 'irreduzibel' und 'prim' sind nahe, aber verschieden; die unkritische Übertragung der Integer-Intuition (Prim = Irreduzibel) kann in Ringen, wo die Begriffe auseinanderfallen, irreführen und Spannung bei Faktorisierungsüberlegungen erzeugen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein UFD ist ein Integritätsbereich, in dem die atomare Zerlegung bis auf Einheiten und Reihenfolge kanonisch ist: Elemente faktorisieren eindeutig in Irreduzible und liefern so eine kontrollierte multiplikative Arithmetik analog zu den ganzen Zahlen.