## [Ideal](/de/node/60194) Definition Eine Teilmenge I eines Rings R, die eine additive Untergruppe ist und abgeschlossen unter Multiplikation mit beliebigen Elementen aus R ist (für alle r ∈ R und x ∈ I liegen rx und xr in I); in kommutativen Ringen heißt das r x ∈ I für jedes r ∈ R und x ∈ I. ## Prinzip Prinzip Ideale sind algebraische Teilmengen, die unter Addition und unter Multiplikation mit Ringelementen stabil sind, sodass sie als Kerne von Ringhomomorphismen und als Bausteine für Quotientenringe fungieren können. ## Demonstration Demonstration Im Ring der ganzen Zahlen Z ist 2Z, die Menge der geraden Zahlen, ein Ideal, weil sie unter Addition und Multiplikation mit beliebigen ganzen Zahlen geschlossen ist; im Polynomring k[x] ist das Ideal (x) die Menge der Polynome ohne absoluten Term. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede additive Untergruppe eines Rings ohne Überprüfung der Multiplikationsstabilität als Ideal zu bezeichnen oder in nichtkommutativen Ringen nicht zwischen Links-, Rechts- und zweiseitigen Idealen zu unterscheiden. ## Konsequenz Konsequenz Ist I ein Ideal von R, so ist R/I ein Ring; Ideale klassifizieren die Kerne von Homomorphismen und beeinflussen Zerlegungs- und Faktorisierungseigenschaften des Rings. ## Umkehrung Umkehrung Ein multiplikatives Untermonoid oder ein Teilring, der nicht unter Addition abgeschlossen ist, ist kein Ideal; das Umkehren der Abschlussbedingungen ergibt andere Objekte wie multiplikative Mengen oder Teilringe. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition schließt Strukturen aus, die nur Untergruppen oder nur multiplikativ abgeschlossene Mengen sind; in nichtkommutativen Ringen muss zwischen links-, rechts- und zweiseitigen Idealen unterschieden werden, und manche Resultate setzen Einselemente voraus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die alltägliche Bedeutung von 'Ideal' als vorbildliches Konzept steht im Wettbewerb zur algebraischen Bedeutung als konkretes abgeschlossenes Teilset; ferner gibt es in der nichtkommutativen Situation mehrere nahe liegende technische Bedeutungen. ## Synthese Synthese Ein Ideal ist die additive Teilmenge eines Rings, die unter Multiplikation mit Ringelementen gesättigt ist, und bildet so das kanonische Objekt für Quotienten und Kerne von Homomorphismen.