## [Interdefinierbarkeit](/de/node/60168) Definition Eine Beziehung zwischen Prädikaten, Begriffen oder Theorien, bei der sich jedes in dem anderen durch Formeln einer festgelegten Umgebungssprache definieren lässt, so dass für jedes Objekt oder jede Struktur der Begriff genau dann gilt, wenn seine Definition in Bezug auf das andere gilt. ## Prinzip Prinzip Sind A und B interdefinierbar, so existieren Formeln φ(x, p) und ψ(x, q) unter Verwendung der Primitiva der Umgebungssprache, sodass φ A aus B definiert und ψ B aus A definiert; die Relation ist symmetrisch und erfasst gegenseitige Ausdrucksfähigkeit statt bloßer Implikation. ## Demonstration Demonstration In der Prädikatenarithmetik lässt sich die Ordnungsrelation < über den natürlichen Zahlen mit der Nachfolgerfunktion S interdefinieren, sofern die Sprache bereits Null und Addition enthält: man kann eine Formel mit S angeben, die < ausdrückt, und umgekehrt S mithilfe von < und arithmetischen Axiomen in geeigneten Erweiterungen beschreiben. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Interdefinierbarkeit als Forderung nach identischen syntaktischen Formeln fehlzuinterpretieren statt als gegenseitige Definierbarkeit in der Umgebungssprache, oder anzunehmen, sie impliziere berechenbare Äquivalenz ohne die Definierbarkeitsbedingungen zu prüfen. ## Konsequenz Konsequenz Akzeptiert erlaubt Interdefinierbarkeit, einen Wortschatz durch den anderen in Beweisen und Definitionen zu ersetzen, Theoreme zu übertragen und konservative Erweiterungen oder Übersetzungen zwischen Theorien zu konstruieren, wobei beabsichtigte Modelle erhalten bleiben. ## Umkehrung Umkehrung Wird Interdefinierbarkeit zu bloßer Definierbarkeit (A aus B definierbar, nicht umgekehrt) umgekehrt, bricht die Symmetrie zusammen und die Möglichkeit des Wortschatzaustauschs verliert sich; die Ausdruckskraftbeziehung wird strikt schwächer. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur relativ zu einer spezifizierten Umgebungssprache und Formelklasse; schließt Fälle aus, in denen Definitionen neue nichtlogische Symbole, nichtkonstruktive Existenzannahmen oder Ressourcen außerhalb des erlaubten syntaktisch-semantischen Rahmens benötigen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Interdefinierbarkeit steht im Wettbewerb mit Bi-Interpretierbarkeit und konservativen Erweiterungen: Bi-Interpretierbarkeit verlangt strukturtreue Übersetzungen zwischen Theorien, während eine konservative Erweiterung nur fordert, dass keine neuen Theoreme in der alten Sprache hinzukommen; verwandt, aber verschieden. ## Synthese Synthese Interdefinierbarkeit ist die symmetrische, sprachbezogene Auffassung, dass zwei Konzepte oder Theorien jeweils exakt durch Formeln des erlaubten Rahmens in Begriffen des anderen ausdrückbar sind und so einen kontrollierten Austausch des Wortschatzes ermöglichen.