## [Konservative Erweiterung](/de/node/60150) Definition Eine Erweiterung T' einer Theorie T ist konservativ, wenn T' keine neuen Sätze in der Sprache von T beweist, die nicht bereits in T beweisbar sind; äquivalent: Jeder Satz der Ausgangssprache, der in der Erweiterung beweisbar ist, war bereits in der Basistheorie beweisbar. ## Prinzip Prinzip Konservativität verlangt, dass hinzugefügte Axiome oder Symbole nur der Abkürzung oder besseren Strukturierung des Inhalts dienen, ohne neue Konsequenzen ausdrückbar in der ursprünglichen Sprache zu liefern; die Erweiterung kann keine zusätzlichen ursprünglichen Sprachfragen entscheiden, die T offen gelassen hat. ## Demonstration Demonstration Ist T eine prädikatenlogische Theorie und T' entsteht durch Hinzufügen eines frischen Funktionssymbols f zusammen mit einem Axiom, das f(x) als in T bereits ausdrückbaren Term t(x) definiert, dann ist T' eine konservative Erweiterung von T, weil jeder Satz der Sprache von T, der in T' beweisbar ist, durch Eliminierung von f mittels seiner Definition zu einem Beweis in T zurückgeführt werden kann. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anzunehmen, jede syntaktische Vergrößerung, die Konsistenz erhält, sei konservativ. Eine Erweiterung kann konsistent, aber nicht konservativ sein: sie kann neue Theoreme in der alten Sprache beweisen (z. B. durch Hinzufügen eines Axiomenschemas, das zuvor unabhängige arithmetische Aussagen impliziert). Konsistenz allein impliziert also nicht Konservativität. ## Konsequenz Konsequenz Eine konservative Erweiterung ist in der theoretischen Praxis unproblematisch: Man kann Definitionen, Abkürzungen oder hilfreiche Apparate einführen, ohne die Verpflichtungen der Theorie bezüglich des ursprünglichen Gegenstands zu ändern; Ergebnisse über das ursprüngliche Vokabular bleiben unverändert. ## Umkehrung Umkehrung Eine nicht-konservative Erweiterung fügt neue Theoreme in der ursprünglichen Sprache hinzu; eine solche Erweiterung ändert den Gehalt der Theorie in Bezug auf die ursprünglichen Themen und kann zuvor unabhängige Sätze entscheiden. ## Abgrenzung Abgrenzung Konservativität ist eine Behauptung über Sätze in der Basissprache; sie trifft keine Aussage über neue Theoreme, die die hinzugefügten Symbole erwähnen. Sie setzt eine feste Basissprache voraus und gilt nicht automatisch, wenn die Signatur der Erweiterung verändert, was als ‚ursprünglicher‘ Satz zählt. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen bestehen zwischen konservativer Erweiterung und definitionaler Erweiterung: alle definitorischen Erweiterungen sind konservativ, aber nicht jede konservative Erweiterung ist definitorisch. Es gibt außerdem Spannungen zur Interpretierbarkeit: eine interpretierbare Erweiterung kann je nach Interpretation konservativ oder nicht konservativ sein. ## Synthese Synthese Eine konservative Erweiterung erweitert eine Theorie um neue Apparate und garantiert zugleich, dass keine zusätzlichen Aussagen über das ursprüngliche Vokabular beweisbar werden; sie formalisiert die Intuition einer sicheren notationalen oder methodischen Bereicherung ohne Veränderung der Kernfolgen.