##  [Unbeweisbarkeit](/de/node/60132) 

 Definition

Der Status eines formalen Satzes gegenüber einem gegebenen Axiomensystem, wenn weder der Satz noch seine Negation aus diesem System ableitbar sind; üblicherweise als Unabhängigkeit von den Axiomen oder Unbeweisbarkeit innerhalb der gewählten Theorie bezeichnet.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Beweisbarkeit ist relativ zum deduktiven Apparat und den Axiomen: Ein Satz ist in einer Theorie unbeweisbar genau dann, wenn keine endliche Ableitung aus diesen Axiomen ihn ergibt; Unabhängigkeit wird oft durch Konstruktion von Modellen gezeigt, in denen der Satz gilt, und solchen, in denen er nicht gilt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Kontinuumshypothese ist von Zermelo–Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) unbeweisbar (unabhängig): Man kann Modelle von ZFC bauen, in denen die Hypothese gilt, und Modelle, in denen sie nicht gilt, womit keine Seite allein aus ZFC ableitbar ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Unbeweisbarkeit als Beleg dafür zu deuten, ein Satz sei falsch oder sinnlos; Unbeweisbarkeit spiegelt lediglich die Relation zu einer festen Axiombasis wider, nicht die absolute Wahrheit oder semantischen Gehalt außerhalb dieser Basis.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unbeweisbarkeit motiviert die Erweiterung des Axiomensystems, die Annahme neuer Axiome oder die Akzeptanz von Pluralismus hinsichtlich zu wählender Erweiterungen; sie lenkt zudem die metamathematische Untersuchung relativer Konsistenz und Modellkonstruktion.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Beweisbarkeit: Der Satz (oder seine Negation) ist mittels der zugelassenen Inferenzregeln aus den Axiomen ableitbar und ist damit nicht unabhängig von dem Axiomensystem.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Unbeweisbarkeit wird relativ zu einer gewählten Theorie, Sprache und deduktiven Methode definiert; sie bestimmt nicht von sich aus die Wahrheit in bestimmten Modellen, sofern nicht durch semantische oder modeltheoretische Analyse ergänzt.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen proof-theoretischer Unbeweisbarkeit und semantischer Unentscheidbarkeit: Ein Satz kann unbeweisbar sein, zugleich aber in einigen Modellen wahr und in anderen falsch, was Fragen zur Wahl neuer Axiome aufwirft.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Unbeweisbarkeit beschreibt die Unabhängigkeit eines Satzes von einer spezifizierten Axiombasis; es ist ein relatives, modellenabhängiges Phänomen, das Entscheidungen darüber nach sich zieht, Theorien zu erweitern, Sprachen zu ändern oder mehrere mathematische Rahmen zu akzeptieren.