## [Nichtkonservative Erweiterung](/de/node/60128) Definition Eine Erweiterung einer formalen Theorie durch Hinzufügen neuer Axiome (oder Axiomenschemata), die mindestens einen neuen Satz erzeugt, der in der ursprünglichen Sprache der Theorie ausgedrückt werden kann; mit anderen Worten: die Erweiterung ist gegenüber der Basistheorie für Sätze der alten Sprache nicht konservativ. ## Prinzip Prinzip Wenn hinzugefügte Prinzipien Sätze in der Ursprungssprache implizieren, die vorher nicht ableitbar waren, ist die Erweiterung nicht konservativ; Konservativität wird relativ zur ursprünglichen Signatur und Satzklasse bewertet. ## Demonstration Demonstration Man nimmt die Peano-Arithmetik und fügt ein Axiom hinzu, das die Existenz eines neuen Elements mit einer im arithmetischen Sprachgebrauch ausdrückbaren Eigenschaft behauptet; wenn dieses Axiom eine zuvor unbeweisbare arithmetische Aussage beweisbar macht, ist die Erweiterung nicht konservativ. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Behauptung, jede Erweiterung, die neue nicht-logische Symbole einführt, sei nicht konservativ — definitorische oder konservative Erweiterungen können Symbole hinzufügen, ohne neue Sätze in der Ursprungssprache hervorzubringen. ## Konsequenz Konsequenz Nichtkonservative Erweiterungen ändern die Folgerungen der Theorie in der ursprünglichen Sprache, beeinflussen, was beweisbar ist, und können ontologische Zusagen verändern oder bei schlechter Wahl die Inkonsistenz gefährden. ## Umkehrung Umkehrung Eine konservative Erweiterung fügt Axiome oder Symbole hinzu, führt jedoch zu keinen neuen Sätzen in der ursprünglichen Sprache; sie erhält alle ursprünglichen Konsequenzen. ## Abgrenzung Abgrenzung Der Begriff gilt nur relativ zu einer bestimmten Basistheorie und deren ursprünglicher Sprache; er schließt rein definitorische Erweiterungen aus und hängt von der Unterscheidung zwischen syntaktischer und semantischer Konservativität ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen bestehen zwischen syntaktischer Konservativität (keine neuen Ableitungen) und semantischer Konservativität (Erhaltung der Modelle) sowie zwischen Konservativität für einzelne Formeln und für Schemata oder Satzklassen. ## Synthese Synthese Eine nichtkonservative Erweiterung ist eine gezielte Erweiterung einer Theorie, die neue Schlussfolgerungen in der Originalsprache erzeugt; sie signalisiert eine echte Änderung der deduktiven Stärke und ist relativ zur gewählten Signatur und Satzklasse zu beurteilen.