##  [Gödel-Satz](/de/node/60104) 

 Definition

Ein selbstbezüglicher Satz G, konstruiert (mittels des Fixpunkt-/Diagonal-Lemmas) für eine gegebene formale Theorie T, der effektiv aussagt 'G ist in T nicht beweisbar'; seine Existenz ist zentral für Unvollständigkeitsbeweise, weil unter natürlichen Voraussetzungen weder G noch seine Negation in T beweisbar sind.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Verwende das Fixpunkt-/Diagonal-Lemma, um einen Satz zu erzeugen, der seinen eigenen Beweisbarkeitsstatus benennt, indem syntaktische Begriffe in die Arithmetik kodiert werden; der Satz ist so konstruiert, dass die Beweisbarkeit von G in T der Konsistenz von T widersprechen würde und damit Unentscheidbarkeit hervorruft.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine rekursiv axiomatisierte Theorie T, die Provabilität repräsentiert, konstruiert man das Formel-Prov_T(x) und wendet das Diagonal-Lemma an, um G mit T ⊢ (G ↔ ¬Prov_T(⌜G⌝)) zu erhalten. Ist T konsistent, kann T G nicht beweisen; ist T hinreichend wohlverhalten, kann es auch ¬G nicht beweisen, womit G in T unentscheidbar ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Einen Gödel-Satz mit einem semantischen Paradoxon (z. B. dem Lügner) zu verwechseln oder zu behaupten, jeder selbstreferentielle Satz sei ein Gödel-Satz; ebenso falsch ist es, irgendeinen unbeweisbaren Satz als 'den' Gödel-Satz zu bezeichnen ohne Bezug auf die verwendete Theorie und Kodierung.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Er liefert explizite Beispiele für in der Theorie unentscheidbare Sätze und macht die Kluft zwischen syntaktischer Beweisbarkeit und semantischer Wahrheit sichtbar; im Standardmodell ist ein solcher Gödel-Satz genau dann wahr, wenn die Theorie konsistent ist.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Negation des Gödel-Satzes ergibt einen Satz, dessen Beweisbarkeit in T typischerweise die Inkonsistenz von T zur Folge hätte; der Beweis von ¬G innerhalb von T ist unter den üblichen Voraussetzungen ein Inkonsistenzzeugnis.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist, dass die Theorie syntaktische Begriffe und Provabilität repräsentieren kann; unterschiedliche Codierungen und Entscheidungen erzeugen nicht-unique Gödel-Sätze, die Konstruktion hängt also vom formalen Aufbau ab und ist nicht kanonisch jenseits beweisbarer Äquivalenz in reicheren Metatheorien.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht zwischen den Begriffen semantischer Wahrheit, syntaktischer Beweisbarkeit und paradoxaler Selbstbezüglichkeit: formal ähnelt er dem Lügner, unterscheidet sich jedoch dadurch, dass seine Konstruktion arithmetisiert ist und seine Unbeweisbarkeit sich aus Konsistenz ergibt, nicht aus einem semantischen Paradoxon.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Gödel-Satz ist eine arithmetisierte selbstreferentielle Konstruktion, welche ihre eigene Nicht-Beweisbarkeit in einer gegebenen Theorie behauptet; durch Diagonalisierung verwandelt sie Syntaxkodierung in einen expliziten unentscheidbaren arithmetischen Satz unter der Konsistenzannahme der Theorie.