##  [Gödels Zweiter Unvollständigkeitssatz](/de/node/60102) 

 Definition

Der Satz, der besagt, dass keine konsistente, effektiv axiomatisierte formale Theorie, die genügend Arithmetik repräsentieren kann, ihre eigene Konsistenz beweisen kann, wenn Konsistenz innerhalb der Theorie formalisiert wird; kurz: ein System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht mit den ihm zur Verfügung stehenden internen Mitteln zertifizieren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Indem man ein Provabilitätsprädikat formalisiert und dieselben Diagonalisierungstechniken wie im ersten Satz verwendet, zeigt man: Würde eine Theorie T Con(T) beweisen (eine Formel, die 'es gibt keinen Beweis für einen Widerspruch in T' formalisiert), so könnte T eine Formel beweisen, die nach dem ersten Satz nicht beweisbar sein sollte, und es ergäbe sich Inkonsistenz.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Peano-Arithmetik repräsentiert man das Prädikat 'x ist ein Beweis in PA' und formuliert Con(PA). Gödelsches Argument produziert einen Satz G derart, dass falls PA Con(PA) beweist, PA auch G beweisen würde und damit der Schluss des ersten Satzes umgangen würde; daher kann PA bei Konsistenz Con(PA) nicht beweisen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, der Satz verbiete jegliche externe oder stärkere Systembeweise der Konsistenz — tatsächlich verhindert der Satz nur, dass eine Theorie ihre eigene Konsistenz mit intern formalisierten Mitteln beweist; er schließt nicht aus, dass eine stärkere Metatheorie Con(T) beweisen kann.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Konsistenzbeweise für eine Theorie müssen entweder aus stärkeren Theorien stammen, nicht-formalen Methoden folgen oder Annahmen enthalten, die in der Theorie selbst nicht formalisiert werden können; dies formt die Hierarchie der fundamentalen Rechtfertigungen und zeigt die Relativität von Konsistenzbehauptungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Kontraposition lautet oft: Wenn eine Theorie T Con(T) beweist, dann ist T inkonsistent; somit ist das Beweisen der eigenen Konsistenz innerhalb desselben formalen Systems gleichbedeutend mit Inkonsistenz unter den Voraussetzungen des Theorems.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist effektive Axiomatisierbarkeit und hinreichende Arithmetik zur Darstellung von Provabilität und Beweisprädikaten; es gilt nicht für Systeme, die diese syntaktischen Begriffe nicht repräsentieren können, oder für Rahmen, die die Formalisierung von Konsistenz verändern.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Erzeugt Spannung zwischen interner und externer Sicht auf Beweis: Interne Beweisbarkeit von Con(T) ist ausgeschlossen, während sie extern in einer stärkeren Metatheorie beweisbar sein kann; dies trennt syntaktische Selbstbestätigung von metatheoretischer Validierung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Gödels zweiter Satz formalisiert die Intuition, dass ein System mit seinen eigenen formalen Mitteln nicht beweisen kann, dass diese Mittel niemals zu einem Widerspruch führen: Durch Kodierung von Beweisen und Provabilität und Anwendung diagonal-argumentativer Methoden zeigt er, dass ein solcher interner Beweis in Inkonsistenz münden würde.