## [Definierbare Menge](/de/node/60096) Definition Eine Teilmenge S der Domäne einer Struktur M heißt definierbar (mit Parametern), wenn es eine Formel erster Ordnung φ(x,a) mit Parametern a aus M gibt, so dass S = { b ∈ M : M ⊨ φ(b,a)}. Wird keine Parameterformel verwendet, spricht man von paramaterfrei oder 0‑definierbar. ## Prinzip Prinzip Die ordnende Idee ist, dass eine definierbare Menge genau die Erweiterung eines erstordnungslogischen Prädikats im Modell ist: Definierbarkeit übersetzt syntaktische Formeln in semantische Teilmengen der Domäne, die unter booleschen Operationen und Projektionen (Existenzquantor → Bild) abgeschlossen sind. ## Demonstration Demonstration Beispiel: Im geordneten Körper der reellen Zahlen (R,+,·,<,0,1) ist die Menge der positiven Reellen {x : x>0} definierbar durch die quantorenfreie Formel x>0; die Menge der Quadrate ist definierbar durch ∃y (y^2 = x). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Definierbar mit algebraisch, topologisch oder berechenbar verwechseln, ohne Sprache und Parameter zu berücksichtigen; annehmen, eine Teilmenge sei in M definierbar, obwohl ihre Beschreibung externe Struktur oder höherordentliche Quantifikation erfordert. ## Konsequenz Konsequenz Definierbare Mengen bilden eine Boolesche Algebra, die unter Projektionen durch Existenzquantoren stabil ist; das Verständnis der definierbaren Mengen bestimmt Typen, steuert interpretierbare Strukturen und ist zentral für Klassifikationsergebnisse (z. B. o‑Minimalität oder Stabilität) in der Modelltheorie. ## Umkehrung Umkehrung Eine nicht‑definierbare Teilmenge ist eine, für die keine erstordnungslogische Formel (mit erlaubten Parametern) genau diese Menge auswählt; viele natürlich beschriebene Sammlungen sind in einer gegebenen Sprache oder einem Modell nicht definierbar. ## Abgrenzung Abgrenzung Definierbarkeit hängt von der gewählten Signatur, dem umgebenden Modell M und davon ab, ob Parameter erlaubt sind; sie ist eine erstordnungslogische Eigenschaft und erfasst keine Aussagen, die höherer Ordnung, infinitären Konjunktionen oder externen Kodierungen bedürfen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die Spannung liegt zwischen definierbar, typdefinierbar (Schnitt von definierbaren Mengen, eventuell unendlich) und invariant: definierbare Mengen sind syntaktisch explizit, typdefinierbare benötigen unendliche Informationen, und invariante Mengen bleiben unter Automorphismen erhalten, sind aber nicht notwendigerweise definierbar. ## Synthese Synthese Eine definierbare Menge in einer Struktur ist die semantische Realisierung einer erstordnungslogischen Formel (mit gegebenen Parametern): sie ist der präzise Mechanismus, wie Syntax Teilmengen eines Modells bestimmt und bildet die Grundeinheiten für Klassifikation und Manipulation in der Modelltheorie.