## [Elementare Erweiterung](/de/node/60091) Definition Eine Struktur N ist eine elementare Erweiterung einer Struktur M (gleiche Signatur), falls M eine elementare Teilstruktur von N ist; äquivalent haben alle Formeln erster Ordnung mit Parametern aus M in M und in N denselben Wahrheitswert. Notation: M ≺ N oder N ⪰ M. ## Prinzip Prinzip Der Kerngedanke ist, ein Modell zu vergrößern, ohne irgendeine erstordnungslogische Wahrheit über die Elemente des kleineren Modells zu verändern: Erweiterungen, die neue Elemente hinzufügen, dabei aber Formeln mit Parametern aus dem Ursprungsmodell nicht ändern. ## Demonstration Demonstration Beispiel: Man nehme ein abzählbares Modell M einer vollständigen Theorie und baue eine hinreichend gesättigte elementare Erweiterung N, die zusätzliche Typen über M realisiert; N enthält dann neue Elemente, welche in M fehlende Typen verwirklichen, während alle erstordnungslogischen Aussagen über M unangetastet bleiben. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu glauben, jede echte Superstruktur sei automatisch elementar, oder jede Einbettung in eine größere Struktur erhalte sämtliche parametrierten erstordnungslogischen Formeln; elementare Erweiterung nicht mit bloßer Erweiterung oder nur elementarer Äquivalenz zu verwechseln. ## Konsequenz Konsequenz Elementare Erweiterungen erlauben das Realisieren von Typen, Konstruktionen mithilfe der Kompaktheit und den Vergleich von Modellen bezüglich Sättigung und Mächtigkeit, wobei die inneren erstordnungslogischen Eigenschaften von M erhalten bleiben. ## Umkehrung Umkehrung Eine nicht-elementare Erweiterung ist eine Superstruktur, die M zwar enthält, aber einige erstordnungslogische Aussagen über Tupel aus M in anderer Wahrheit macht als M selbst. ## Abgrenzung Abgrenzung Elementarität als Erweiterungsbegriff ist signaturabhängig und bezieht sich nur auf Parameter aus M; sie sichert keine Erhaltung höherordentlicher Aussagen oder meta-mathematischer Eigenschaften wie Kardinalität, sofern diese nicht erstordnungslogisch ausdrückbar sind. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen bestehen zwischen elementaren Erweiterungen und anderen Vergrößerungskonzepten (z. B. algebraische oder topologische Hüllen): elementare Erweiterungen erhalten die erstordnungslogische Theorie mit Parametern, andere Hüllen erhalten andere strukturelle Merkmale. ## Synthese Synthese Eine elementare Erweiterung N von M ist eine Superstruktur, die neue Elemente oder Zeugen hinzufügt, ohne erstordnungslogische Tatsachen über M zu verändern; sie ist die kontrollierte Art, Modelle zu vergrößern, wobei M aus Sicht der ersten Ordnung unverändert bleibt.