##  [Elementare Teilstruktur](/de/node/60089) 

 Definition

Eine Teilstruktur M einer Struktur N (gleiche Signatur), die die Wahrheit jeder prädikatenlogischen (ersten Ordnung) Formel mit Parametern aus M erhält; formal gilt für jede Formel φ(x1,..,xn) und jedes Tupel a aus M: N ⊨ φ(a) genau dann, wenn M ⊨ φ(a). Man schreibt häufig M ≺ N.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die leitende Regel ist die Wahrheits‑Erhaltung von erstordnungslogischen Aussagen mit Parametern aus der kleineren Domäne: Es treten in N keine neuen erstordnungslogischen Fakten über Elemente von M auf, die in M nicht bereits gelten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Im Sprachrahmen geordneter Körper ist der Körper der rationalen Zahlen keine elementare Teilstruktur der reellen Zahlen, weil die Formel ‚es existiert x mit x^2 = 2‘ in R wahr, in Q aber falsch ist. Trivialerweise ist jede Struktur eine elementare Teilstruktur von sich selbst (M ≺ M).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede Teilstruktur, die nur unter den Signaturoperationen abgeschlossen ist, fälschlich als elementar zu betrachten; elementare Teilstruktur nicht von bloßer Isomorphie oder von existenzieller Eingebettetheit zu unterscheiden, ohne die vollständige Erhaltung aller erstordnungslogischen Formeln zu prüfen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wenn M ≺ N, dann gilt jede erstordnungslogische Formel mit Parametern in M in N genau dann, wenn sie in M gilt; dies ermöglicht das Übertragen von Definierbarkeitsfragen, Realisierungen von Typen und zahlreiche modeltheoretische Argumente zwischen M und N.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Gegenrichtung ist eine Teilstruktur, die nicht elementar ist: eine unter den Operationen abgeschlossene Menge, die dennoch in Bezug auf gewisse erstordnungslogische Formeln mit Parametern aus der Menge versagt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Elementarität ist eine erstordnungslogische Eigenschaft bezüglich einer festen Signatur und erlaubt nur Parameter aus der Teilstruktur; sie betrifft keine Aussagen höherer Ordnung oder meta-mathematische Eigenschaften wie Kardinalität, sofern diese nicht erstordnungslogisch ausdrückbar sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Elementarität und schwächeren Relationen wie elementarer Äquivalenz, existenziellen Einbettungen oder bloßer Isomorphie: Elementarität verlangt vollständige Übereinstimmung bei Formeln mit Parametern, die anderen nicht.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

M ≺ N bedeutet, dass N keine erstordnungslogischen Unterscheidungsmerkmale über Elemente von M besitzt, die M nicht sowieso besitzt; elementare Teilstruktur ist die formale Bedingung dafür, dass M aus Sicht der ersten Ordnung unverändert bleibt.