## [Signatur](/de/node/60068) Definition Eine Spezifikation des nichtlogischen Vokabulars einer formalen Sprache: eine Menge von Symboldeklarationen einschließlich Konstantensymbolen, Funktionssymbolen mit Aritäten und Relationssymbolen mit Aritäten, die die syntaktischen Bausteine festlegen, die zum Bilden von Termen und atomaren Formeln zur Verfügung stehen. ## Prinzip Prinzip Eine Signatur legt das Vokabular und die Aritäten der Sprache fest, sodass Strukturen genau diese Symbole interpretieren; semantische und syntaktische Begriffe (Strukturen, Homomorphismen, Theorien, Formeln) werden relativ zu einer gewählten Signatur definiert und ändern sich, wenn sich die Signatur ändert. ## Demonstration Demonstration Eine typische arithmetische Signatur Σ = {0 : Konstante, s : eindimensionale Funktion, + : binäre Funktion, × : binäre Funktion} legt fest, dass Terme aus 0 und Anwendungen von s, +, × gebildet werden und dass Modelle für Σ Interpretationen dieser Symbole über einer Domäne bereitstellen müssen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Signatur mitten im Beweis zu ändern oder stillschweigend Symbole hinzuzufügen, ohne deren Aritäten festzuhalten; die Signatur mit einer Theorie verwechseln, indem Axiome als Teil der Signatur behandelt werden; oder Bedeutungen von Symbolen über verschiedene Signaturen hinweg ohne Übersetzung anzunehmen. ## Konsequenz Konsequenz Die Festlegung einer Signatur ermöglicht präzise Definitionen von Strukturen, Morphismen und Erfüllung; sie steuert, welche Ausdrücke und Eigenschaften überhaupt ausdrückbar sind und bildet die Grundlage für Vergleiche zwischen Modellen und Transferresultate (z. B. Homomorphismen, Einbettungen, Redukte und Erweiterungen). ## Umkehrung Umkehrung Eine Theorie ist die Umkehr: Sie besteht aus Axiomen, die in einer Sprache über einer Signatur formuliert sind; eine Theorie schränkt die Klasse der Modelle für eine gegebene Signatur ein oder erweitert sie, ändert jedoch nicht die primitiven Symbole, es sei denn, die Signatur wird geändert. ## Abgrenzung Abgrenzung Signaturen betreffen nur nichtlogische Symbole und Aritäten; sie schließen logische Junktoren, Quantoren und metalogische Mittel aus, obwohl viele‑sortige Signaturen, typisierte Signaturen oder Signaturen mit zusätzlicher syntaktischer Struktur explizite Generalisierungen darstellen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen 'Signatur' und 'Sprache' oder 'Vokabular' in informeller Verwendung: Signatur ist die formale Deklaration von Symbolen und Aritäten, während 'Sprache' auch Regeln zur Formbildung und logische Symbole umfassen kann; eine weitere Spannung besteht zwischen festen und erweiterbaren Signaturen in modularen Spezifikationen. ## Synthese Synthese Eine Signatur ist die formale Auflistung von Konstanten-, Funktions‑ und Relationssymbolen mit festgelegten Aritäten, die die zulässigen primitiven Ausdrücke einer formalen Sprache definiert; sie bildet den Rahmen zum Aufbau von Termen, zum Formulieren von Formeln und zur Interpretation von Strukturen und Abbildungen.