##  [Vollständigkeitssatz](/de/node/60002) 

 Definition

Ein Metasatz, klassisch für die Prädikatenlogik erster Stufe, der aussagt, dass falls eine Formel semantisch aus einer Menge von Sätzen folgt, sie syntaktisch aus diesen Sätzen beweisbar ist; semantische Konsequenz impliziert syntaktische Ableitbarkeit (Σ ⊨ φ ⇒ Σ ⊢ φ).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Alle semantischen Konsequenzen sind durch das Beweissystem erfassbar: für die Logiken, für die der Satz gilt, stimmen modelltheoretische Folgerung und Beweisbarkeit überein.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Gödels Vollständigkeitsbeweis für die Prädikatenlogik erster Stufe konstruiert eine maximal konsistente Menge oder verwendet Henkin-Erweiterungen, um aus einer konsistenten Theorie ein Modell zu bauen, in dem jede semantisch folgende Formel wahr ist, und zeigt so Σ ⊨ φ ⇒ Σ ⊢ φ.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Satz mit Gödels Unvollständigkeitssätzen für arithmetische Theorien zu verwechseln oder anzunehmen, Vollständigkeit gelte für höherstufige Logiken oder für Logiken mit nichtstandardmäßigen Semantiken ohne Prüfung.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Gleicht beweistheoretische und modelltheoretische Methoden für die jeweilige Logik an und ermöglicht Ableitungen wie das Kompaktheitstheorem und Löwenheim–Skolem-Eigenschaften.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Korrektheit liefert die Umkehrung (Beweisbarkeit impliziert semantische Gültigkeit); zusammen ergeben Korrektheit und Vollständigkeit die Äquivalenz von Syntax und Semantik.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für klassische Prädikatenlogik erster Stufe mit Standardssemantik und geeigneten Beweissystemen; sie kann für höherstufige Logiken, bestimmte modale Semantiken oder für Systeme ohne passende Regeln versagen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Ausdruckskraft und Entscheidbarkeit: Vollständigkeit kann mit dem Verlust von Entscheidbarkeit einhergehen oder mit der Unfähigkeit, intensionalen Gehalt zu erfassen; oft im Kontrast zu Unvollständigkeitsergebnissen in der Arithmetik.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Vollständigkeit schließt die vom Korrektheitssatz gelassene Lücke, indem sie sicherstellt, dass semantisch wahre Aussagen (relativ zur spezifizierten Semantik) durch syntaktische Beweise in der Ziel-Logik erreichbar sind; ihre Geltung hängt jedoch von Struktur und Semantik der Logik ab.