##  [Prinzip der Doppelten Negation](/de/node/59992) 

 Definition

Die Regel der klassischen Logik, dass eine Formel A logisch äquivalent zu ihrer doppelten Negation ¬¬A ist und somit in beiden Richtungen zwischen A und ¬¬A geschlossen werden darf.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

In der klassischen Logik ist Negation involutiv: Wird Negation zweimal angewandt, erhält man die ursprüngliche Aussage zurück, sodass A ↔ ¬¬A gilt und zur Einführung oder Eliminierung von Negationen verwendet werden kann.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Wenn die Aussage »Es regnet« wahr ist, so ist auch »Es ist nicht der Fall, dass es nicht regnet« wahr; umgekehrt impliziert in der klassischen Logik die Wahrheit von »Es ist nicht der Fall, dass es nicht regnet« die Aussage »Es regnet«.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Annahme von ¬¬A → A in konstruktiven oder intuitionistischen Kontexten, wo diese Implikation nicht ableitbar ist; Verwendung der Doppelnegationselimination, um aus ¬¬∃x P(x) ohne Zeugen Existenz zu folgern.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Vereinfachung von Formeln durch Entfernung redundanter Negationen in klassischen Beweisen und unterstützt normale Formen und Äquivalenzen, die auf Negationselimination beruhen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Im Gegensatz dazu zeigt die Nichtäquivalenz in konstruktiven Logiken, dass zwar A → ¬¬A meist beweisbar ist, die Umkehrung ¬¬A → A jedoch ohne klassische Prinzipien wie das Ausschlussprinzip scheitert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt in klassischer Aussagen- und Prädikatenlogik; nicht allgemein gültig in intuitionistischer, minimaler oder in einigen parakonsistenten Logiken, wo die Doppelnegationselimination ungültig oder eingeschränkt ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der klassischen Identifikation von Wahrheit mit doppelter Negation und konstruktiven Bedeutungen von Existenz und Beweis, wobei ¬¬A schwächer ist als A, da ein konstruktiver Zeuge fehlt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Prinzip der Doppelten Negation fasst die klassische Einsicht zusammen, dass das Verneinen einer Verneinung die ursprüngliche Behauptung wiederherstellt: In klassischen Systemen sind A und ¬¬A austauschbar, in konstruktiven hingegen markiert es den Unterschied zwischen Beweisbarkeit und bloßer Nichtwiderlegbarkeit.