##  [De-Morgan-Gesetze](/de/node/59990) 

 Definition

Das Paar logischer Äquivalenzen, das Negation mit Konjunktion und Disjunktion verknüpft: ¬(A ∧ B) ist äquivalent zu (¬A) ∨ (¬B), und ¬(A ∨ B) ist äquivalent zu (¬A) ∧ (¬B) in klassischer Logik und Boolescher Algebra.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Negation verteilt sich über Konjunktion und Disjunktion, indem sie diese dualisiert: die Negation einer Konjunktion ist die Disjunktion der Negationen und umgekehrt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In mengentheoretischen Begriffen ist das Komplement des Schnitts zweier Mengen gleich der Vereinigung ihrer Komplemente: (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c, ein direktes Beispiel für De Morgansche Gesetze.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das blinde Anwenden von De-Morgan-Transformationen in Systemen mit nicht-klassischer Negation, in modalen Kontexten ohne Geltungsbereichbeachtung oder in der intuitionistischen Logik, wo die Bikonditionale scheitern können, ist ein Missbrauch, der zu ungültigen Äquivalenzen führt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Vereinfachung und Normalisierung logischer Formeln, unterstützt algorithmische Transformationen in Boolescher Algebra und digitaler Logik und macht die Dualität zwischen ∧ und ∨ unter Negation explizit.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wenn De-Morgan-Äquivalenzen geleugnet werden, kann Negation nicht als dualisierender Operator behandelt werden und viele Standardvereinfachungen und Dualitäten der Booleschen Rechnung brechen zusammen; dies tritt in einigen nicht-klassischen Logiken auf.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt in klassischer Aussagenlogik, Boolescher Algebra und standardmäßiger Mengentheorie; kann in intuitionistischer Logik, in bestimmten modalen Logiken, unter- strukturellen Logiken oder bei nicht-standardmäßigen Negationen versagen oder Anpassungen erfordern.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zur intuitionistischen Negation: während ¬(A ∨ B) klassisch (¬A) ∧ (¬B) impliziert, ist die umgekehrte Richtung oder die andere De-Morgan-Äquivalenz intuitionistisch möglicherweise nicht beweisbar, wodurch eine semantische Divergenz entsteht.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die De Morganschen Gesetze beschreiben die duale Beziehung, durch die Negation Konjunktionen in Disjunktionen von Negationen und umgekehrt verwandelt; sie kodieren eine grundlegende Symmetrie der klassischen Logik, die Vereinfachungen und Dualitätsumformungen ermöglicht.