##  [Identitätsgesetz](/de/node/59984) 

 Definition

Ein grundlegendes logisches Prinzip, das besagt, dass jedes Objekt oder jede Proposition mit sich selbst identisch ist; formalisiert in der Prädikatenlogik durch das Reflexivitätsaxiom x = x für das Identitätsprädikat und in der Aussagenlogik durch die Tautologie p ⇒ p (bzw. p ↔ p).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Identität ist reflexiv und bildet die Grundlage für Substitutions‑ und Ersetzungsregeln: Wenn a = b gilt, darf jede Formel mit a durch eine mit b ersetzt werden, ohne die Wahrheit zu verändern, unter angemessenen Bereichen und Typbedingungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der FO‑Logik mit Identität führt das Hinzufügen des Axiomschemas ∀x (x = x) und der Substitutionsaxiome dazu, dass aus 2+2=4 und '4 ist gerade' gefolgert werden kann, dass '2+2 ist gerade' gilt; Identität ermöglicht solche gültigen Ersetzungen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Identitätsregel als aufschlussreiche Aussage über metaphysische Gleichheit zu deuten oder syntaktische Gleichheit mit intensionaler oder kontextueller Gleichheit gleichzusetzen; das Ignorieren von Bereichs‑ oder Typbeschränkungen bei Substitutionen kann zu Kategorienfehlern führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Erlaubt gleichförmigen Austausch und die Anwendung von Leibniz' Gesetz (Ununterscheidbarkeit identischer Dinge) in Beweisen, wodurch formale Termmanipulation und Eigenschaftsübertragung zwischen gleichen Termen gültig werden; es ist grundlegend für algebraisches und modelltheoretisches Schließen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Verwerfung der Reflexivität führt zu Logiken mit nicht‑reflexiver Identität oder zu bestimmten parakonsistenten/intensionellen Systemen, in denen Identität abgeschwächt ist; solche Umkehrungen ändern das Ersetzungsverhalten und erfordern alternative Inferenzregeln.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für das formale Gleichheitsprädikat oder propositionale Selbstimplikation in klassischen Rahmen; in intensionalen Kontexten (modal, temporal, vage Prädikate) oder typisierten Sprachen kann das einfache Substitutionsprinzip eingeschränkt sein oder einer Rechtfertigung bedürfen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen syntaktischer Identität und begrifflicher Ununterscheidbarkeit: Zwei verschiedene Namen können auf dasselbe Objekt referieren (koreferentiell) ohne in allen intensionalen Kontexten substituierbar zu sein; daher ist das logische Gewerk der Identität von philosophischen Identitätsauffassungen zu trennen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Identitätsgesetz ist die minimale reflexive Annahme, die Substitution und Eigenschaftsübertragung in formalen Systemen sichert: es ist ein syntaktisch‑semantischer Dreh‑ und Angelpunkt für Gleichheitsreasoning, dessen Einschränkungen in intensionalen, typisierten oder nichtklassischen Rahmensichtbar werden.