## [Löwenheim–Skolem-Eigenschaft](/de/node/59968) Definition Eine Familie von Resultaten und die zugehörige Eigenschaft einer Logik oder Theorie, welche die Mächtigkeiten von Modellen einschränken: Typischerweise sagt der absteigende Löwenheim–Skolem-Satz, dass eine erfüllbare Menge von Formeln ein Modell bis zu einer bestimmten kleineren Mächtigkeit (häufig abzählbar) besitzt, während aufsteigende Versionen die Existenz größerer Modelle behaupten; zusammen drücken sie aus, dass Erfüllbarkeit die Modellmächtigkeit nicht streng festlegt. ## Prinzip Prinzip Die ordnende Idee ist, dass die Ausdruckskraft der Prädikatenlogik keine beliebigen unendlichen Mächtigkeiten kontrollieren kann: Hat eine Theorie ein unendliches Modell, so gibt es gemäß dem Löwenheim–Skolem-Verhalten Modelle verschiedener vorgegebener Mächtigkeiten, sodass die Mächtigkeit nicht allein durch die Syntax starr festgelegt wird. ## Demonstration Demonstration Beispiel: In der klassischen ersten Ordnung impliziert der absteigende Löwenheim–Skolem-Satz, dass jede erfüllbare Theorie in einer abzählbaren Sprache ein abzählbares Modell besitzt; dies führt zum Skolem-Paradoxon: Die Mengentheorie hat abzählbare Modelle, obwohl sie die Existenz überabzählbarer Mengen beweist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Fälschlicherweise aus Löwenheim–Skolem zu schließen, alle Modelle einer Theorie seien abzählbar, oder den Satz anzuwenden, ohne Sprachmächtigkeit oder die Voraussetzungen der Logik zu prüfen; eine weitere Fehlinterpretation ist, die Existenz kleiner Modelle als semantische Widerlegung der Überabzählbarkeit der intendierten Interpretation zu deuten. ## Konsequenz Konsequenz Die Eigenschaft beschränkt die Ausdrucksmöglichkeiten der Logik hinsichtlich Kardinalitätsdifferenzen, liegt modelltheoretischen Phänomenen wie Nicht-Kategorität in unendlichen Mächtigkeiten zugrunde und motiviert das Studium stärkerer Logiken, wenn Kontrolle über Mächtigkeiten erforderlich ist. ## Umkehrung Umkehrung Umgekehrt gibt es Logiken, die Löwenheim–Skolem nicht erfüllen: Diese können teilweise kardinalitätsspezifische Aussagen syntaktisch ausdrücken oder erzwingen (z. B. bestimmte zweite-Ordnung- oder infinitäre Logiken), sodass Modellgrößen durch Formeln eingeschränkt werden können. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Logiken und Theorien unter den üblichen syntaktischen Annahmen (Größe der Signatur, Kompaktheitsbedingungen); sie gilt nicht automatisch in höheren Ordnungslogiken, vielen Logiken über endliche Modelle oder in nichtklassischen Rahmen, die die erforderlichen beweistheoretischen oder semantischen Eigenschaften nicht besitzen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen dem Löwenheim–Skolem-Verhalten und Zielen wie Kategorizität oder absoluter Kardinalitätscharakterisierung: Das Erzwingen kategorialer Axiome in allen unendlichen Mächtigkeiten steht im Widerspruch zu existierenden Auf- oder Abwärtsübertragungen von Modellgrößen. ## Synthese Synthese Die Löwenheim–Skolem-Eigenschaft formt die Grenzen der erstordentlichen Ausdruckskraft bezüglich Kardinalitäten: Sie sichert Übertragungen der Erfüllbarkeit zwischen bestimmten Mächtigkeiten und erklärt, weshalb viele kardinalitätsabhängige Begriffe nicht rein erstordentlich festgelegt werden können.