##  [Semantische Vollständigkeit](/de/node/59964) 

 Definition

Eigenschaft eines deduktiven Systems, dass jede Formel, die semantisch gültig ist (in allen Modellen der Semantik des Systems wahr), innerhalb des Beweissystems beweisbar ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Semantische Vollständigkeit verlangt Übereinstimmung zwischen modelltheoretischer Konsequenz und syntaktischer Ableitbarkeit: Wenn ein Satz in allen Modellen gilt, können die formalen Regeln des Systems ihn ableiten; Vollständigkeit wird oft durch Konstruktion eines kanonischen Modells aus konsistenten Mengen oder mittels Vollständigkeitssätzen bewiesen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die prädikatenlogik erster Stufe ist semantisch vollständig im Sinne von Gödels Vollständigkeitssatz: Jede Formel, die in jedem Modell einer first-order Theorie wahr ist, ist aus den Axiomen der Theorie mit den Regeln der ersten Ordnung ableitbar.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Semantische Vollständigkeit mit syntaktischer (oder Negations-)Vollständigkeit einer Theorie zu verwechseln (dass jede Aussage oder ihre Negation beweisbar ist) oder Gödels Unvollständigkeitssätze fälschlich als Widerspruch zur Vollständigkeit der ersten Stufe zu lesen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ein semantisch vollständiges System stellt sicher, dass Beweissuche ausreichend ist, um alle semantischen Wahrheiten der Sprache zu erfassen: Ist eine Formel gültig, so existiert ein endlicher Beweis im System (auch wenn der Beweis schwer zu finden sein kann).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Semantische Unvollständigkeit: Es existieren semantisch gültige Sätze, die im System nicht beweisbar sind; syntaktische Vollständigkeit ist orthogonal und betrifft die Beweisbarkeit jeder Aussage oder ihrer Negation.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für eine bestimmte Sprache und ein festgelegtes semantisches Rahmenwerk; Vollständigkeit impliziert nicht Entscheidbarkeit und garantiert nicht die Existenz effektiver Beweissuchverfahren für beliebige Theorien in der Sprache.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen semantischer Vollständigkeit und Entscheidbarkeit bzw. syntaktischer Vollständigkeit: Ein System kann semantisch vollständig und dennoch unentscheidbar sein; Vollständigkeit bedeutet nicht, dass jede Aussage innerhalb der Theorie entscheidbar ist.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Semantische Vollständigkeit verbindet Wahrheitsgültigkeit in allen Modellen mit Beweisbarkeit: Wenn ein deduktives System semantisch vollständig ist, fallen modelltheoretische Gültigkeit und syntaktische Ableitbarkeit zusammen, sodass Beweise alle universellen semantischen Folgerungen erfassen.