## [Logische Konsequenz](/de/node/59952) Definition Relation, in der eine Menge von Sätzen semantisch die Wahrheit eines anderen Satzes in jeder Interpretation garantiert: eine Folgerelation zwischen Prämissen und Konklusion über alle Modelle der Prämissen hinweg. ## Prinzip Prinzip Ein Satz φ ist semantische Konsequenz einer Menge Γ (Γ |= φ), wenn jedes Modell, das alle Sätze in Γ wahr macht, auch φ wahr macht; Konsequenz formalisiert die semantische Bewahrung von Prämissen zur Konklusion. ## Demonstration Demonstration Aus {Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist Mensch} folgt semantisch, dass Sokrates sterblich ist, weil in jedem Modell, in dem die beiden Prämissen gelten, die Konklusion gelten muss; in der Aussagenlogik folgt aus {p → q, p} q. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Konsequenz mit bloßer syntaktischer Ableitbarkeit gleichzusetzen, ohne Korrektheit zu prüfen: Ein Beweissystem kann die semantische Konsequenz nicht bewahren, falls es unsound ist, oder es kann Konsequenzen nicht ableiten, wenn es unvollständig ist. ## Konsequenz Konsequenz Konsequenz liefert zuverlässige Schlüsse: Ist semantische Konsequenz gegeben, so folgen die Konklusionen in allen Modellen der Prämissen und können Wahrheit von Annahmen auf abgeleitete Fakten übertragen. ## Umkehrung Umkehrung Das Nichtvorliegen von Konsequenz bedeutet, dass es mindestens ein Modell der Prämissen gibt, in dem die Konklusion falsch ist; Kontraposition oder Widerlegung durch Gegenmodell sind typische diagnostische Umkehrungen. ## Abgrenzung Abgrenzung Konsequenz hängt von der gewählten Logik, Signatur und Semantik ab; nichtmonotone Logiken verändern das Konsequenzverhalten (das Hinzufügen von Prämissen kann vorherige Konsequenzen aufheben), anders als die klassische monotone Konsequenz. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Konsequenz vs Implikation: Implikation ist ein Formel‑level‑Konnektor in der Sprache, Konsequenz ist eine Meta‑Relation zwischen Mengen von Formeln und Formeln; sie interagieren, bleiben aber unterschiedliche Konzepte. ## Synthese Synthese Konsequenz erfasst die semantische Garantie: Wann immer die Prämissen in einem Modell wahr sind, ist auch die daraus folgende Konklusion wahr; sie formalisiert verlässliche logische Folgerung über zulässige Modelle hinweg.