##  [Gültigkeit](/de/node/59950) 

 Definition

Eigenschaft eines Satzes (Formel ohne freie Variablen), dass er in jeder zulässigen Interpretation oder Bewertung der Logik wahr ist; ein Satz, der in allen Modellen gilt, ist gültig (logische Wahrheit).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Gültigkeit erfordert universelle Wahrheit über die von der Semantik vorgegebene Modellklasse: Ein gültiger Satz kann durch keine zulässige Struktur oder Zuweisung falsifiziert werden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Aussagenlogik ist p ∨ ¬p gültig, weil jede Wahrheitszuweisung ihn wahr macht; in der Prädikatenlogik ist ∀x (P(x) → P(x)) in Standardsemantik gültig, da er in jeder Struktur wahr ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Einen Satz für gültig zu halten, weil er in einem speziellen Beweissystem ableitbar ist, ohne die Korrektheit (Soundness) zu prüfen: Ein System kann Sätze ableiten, die semantisch nicht gültig sind, falls es unsound ist, oder es kann gültige Sätze nicht ableiten, wenn es unvollständig ist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist ein Satz gültig, so ist er eine logische Gewissheit und kann als Prämisse verwendet werden, ohne semantisches Risiko einzuführen; Gültigkeit unterstützt Abstraktion und Verallgemeinerung von Theoremen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenteil von Gültigkeit ist Falsifizierbarkeit oder Kontingenz: Ein kontingenter Satz ist in manchen Modellen wahr und in anderen falsch; Erfüllbarkeit ist schwächer — Gültigkeit impliziert, dass ihre Negation unerfüllbar ist.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gültigkeit ist relativ zur Semantik und zur Signatur (Sprache) — das Hinzufügen nichtlogischer Axiome oder das Ändern von Domänenbedingungen (z. B. endliche Modelle) kann die Gültigkeit eines Satzes in dieser Theorie verändern.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Gültigkeit vs Theoremhood: Gültigkeit ist semantisch (Wahrheit in allen Modellen), Theoremhood ist syntaktisch (Ableitbarkeit in einem Beweissystem); Vollständigkeit verbindet beides, praktische Unterschiede bleiben jedoch für automatisiertes Schließen relevant.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Gültigkeit bezeichnet Sätze, die in allen zulässigen Modellen universal wahr sind; sie ist die semantische Vorstellung logischer Wahrheit, die allgemeine Theoreme und sichere Inferenzschritte untermauert.