##  [Unerfüllbarkeit](/de/node/59948) 

 Definition

Eigenschaft einer Formel oder einer Menge von Formeln, für die keine Interpretation, kein Modell oder keine Zuweisung existiert, die jede Formel der Menge wahr macht; äquivalent dazu hat die Menge keine Modelle.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine Menge ist unerfüllbar, wenn die semantischen Bedingungen der Logik jede mögliche Welt oder Struktur ausschließen, die alle Mitglieder gleichzeitig wahr machen würde.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Aussagenlogik ist die Menge {p, ¬p} unerfüllbar, weil keine Wahrheitszuweisung p und ¬p zugleich wahr machen kann; in der Prädikatenlogik ist {∀x P(x), ∃x ¬P(x)} in Standardsemantik unerfüllbar.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Theorie wegen fehlender Beweise für einen bestimmten Satz als unerfüllbar zu bezeichnen: Das Fehlen von Herleitungen bedeutet nicht zwangsläufig das Fehlen von Modellen, und Entscheidbarkeitsprobleme können den Erfüllbarkeitsstatus verbergen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unerfüllbarkeit erlaubt Widerspruchsbeweise: das Herleiten eines expliziten Widerspruchs zeigt, dass kein Modell die Prämissen erfüllen kann; sie treibt auch automatisierte Widerlegungsverfahren wie SAT‑UNSAT‑Erkennung an.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Umgekehrte ist Erfüllbarkeit; Unerfüllbarkeit entspricht semantisch der Unmöglichkeit eines Modells, während sie syntaktisch oft mit der Herleitbarkeit eines expliziten Widerspruchs korrespondiert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Unerfüllbarkeit hängt von der Semantik und den Annahmen über den Träger der Modelle ab (z. B. endliche vs beliebige Domänen); parakonsistente Logiken verändern die Verbindung zwischen Widerspruch und Unerfüllbarkeit.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Unerfüllbarkeit vs syntaktische Inkonsistenz: Unerfüllbarkeit ist eine semantische Eigenschaft (kein Modell), Inkonsistenz bezeichnet oft die Ableitbarkeit eines Widerspruchs nach einem bestimmten Schlussbegriff; in sounden und vollständigen Systemen fallen sie zusammen, sonst nicht.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Unerfüllbarkeit besagt, dass keine Interpretation existiert, welche alle Formeln wahr macht; sie ist das semantische Zeichen eines Widerspruchs und bildet die Grundlage für Widerlegungsstrategien und Gegenmodell‑Analyse.