##  [Interpolation](/de/node/59926) 

 Definition

Eine logische Konstruktion, die zu Formeln A und B mit A ⊨ B eine Formel I (den Interpolanten) liefert, die von A gefolgt wird, B nach sich zieht und nur die nichtlogischen Symbole verwendet, die in A und B gemeinsam vorkommen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Wenn A ⊨ B in einer Logik mit Interpolations-Eigenschaft gilt, existiert ein I, das ausschließlich aus dem gemeinsamen Vokabular aufgebaut ist und so A ⊨ I sowie I ⊨ B erfüllt; der Interpolant trennt die von A und B gelieferten Informationen an der Grenze ihrer gemeinsamen Sprache.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Aussagenlogik sei A = (p ∧ q) und B = (p ∨ r). Da A B impliziert, ist I = p ein Interpolant: A ⊨ p und p ⊨ B, und I verwendet nur das Symbol p, das in beiden Formeln vorkommt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Interpolanten so zu zwingen, Symbole zu enthalten, die nicht zwischen A und B geteilt werden, oder anzunehmen, ein Interpolant existiere in einer Logik ohne Interpolations-Eigenschaft (etwa in bestimmten nichtklassischen oder erweiterten ersterordnungslogischen Systemen), führt zu fehlerhaften Trennungsbehauptungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Interpolation liefert ein modulares Zeugnis, das die gemeinsame Information zwischen Prämissen und Schluss isoliert; sie bildet die Grundlage für kompositionelle Verifikation, modulare Ontologieabstimmung und bestimmte Zerlegungen in der Modellüberprüfung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Fehlt eine nur die gemeinsamen Symbole nutzende trennende Formel (Ausfall der Interpolation), so kehrt sich die Zusicherung um: Man kann den geteilten Inhalt nicht syntaktisch isolieren, obwohl semantisch A ⊨ B gelten mag.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt in der Aussagenlogik und der klassischen ersten Ordnung (Craigs Theorem), kann aber in Erweiterungen oder Fragmenten versagen (einige modale, Fixpunkt- oder zweiterordnungslogische Systeme); die Einschränkung bezieht sich auf nichtlogische gemeinsame Zeichen und schließt logische Junktoren und Quantoren aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Interpolanten sind zugleich syntaktische Objekte (Formeln aus Symbolen) und semantische Trenner (sie trennen Modelle von A von Gegenmodellen zu B); Spannung entsteht, wenn ein semantischer Trenner existiert, aber keine syntaktische Formel im gemeinsamen Vokabular ihn darstellen kann.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Interpolation ist der Prozess, aus einer Folgerung A ⊨ B eine Formel I zu extrahieren, die syntaktisch das gemeinsame Vokabular erfasst, das A von B trennt, wodurch modulares Schließen und Informationskapselung ermöglicht werden, mit der Einschränkung, dass manche Logiken keinen solchen syntaktischen Trenner zulassen.