## [Sprung-Diffusionsprozess](/de/node/59752) Definition Ein stochastischer Prozess, der kontinuierliche, diffusionsartige Entwicklung (typischerweise ein Brownscher Anteil) mit diskreten Sprungereignissen kombiniert, die durch ein Sprungmaß oder einen Punktprozess gesteuert werden, wodurch Pfade zwischen Sprüngen stetig und an Sprungzeitpunkten diskontinuierlich sind. ## Prinzip Prinzip Die Dynamik wird durch einen Diffusionsterm gesteuert, der kleine, häufige Schwankungen erfasst, und einen Sprungterm, der Ankunftszeiten und Größen plötzlicher Bewegungen spezifiziert; mathematisch dargestellt durch eine SDE mit Brownschem Anteil und kompensiertem Poisson‑Zufallsmaß oder Sprungprozess. ## Demonstration Demonstration Ein Asset‑Preis‑Modell, bei dem der Logarithmus des Preises meist geometrischer Brownscher Bewegung folgt, aber gelegentlich prozentuale Sprünge zu zufälligen Zeiten erfährt, die einem Poisson‑Prozess entstammen, mit vorgegebener Sprunggrößenverteilung; dies erzeugt fette Ränder und Schiefe in Renditeverteilungen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Sprungkomponente bei der Kalibrierung auf Daten mit ausgeprägten Diskontinuitäten zu ignorieren oder eine Sprungspezifikation mit unrealistischer Sprungintensität oder Sprunggrößenverteilung zu verwenden, die das empirische Tail‑Verhalten falsch wiedergibt. ## Konsequenz Konsequenz Die korrekte Einbeziehung von Sprüngen führt zu präziseren Risikoeinschätzungen für Extremereignisse, verändert die Optionsbewertung und Hedging‑Strategien und beeinflusst Erstdurchgangszeiten und Ruinwahrscheinlichkeiten in angewandten Kontexten. ## Umkehrung Umkehrung Wird der Sprungterm entfernt, ergibt sich ein reiner Diffusionsprozess (stetige Pfade, z. B. geometrische Brownsche Bewegung), der keine plötzlichen Diskontinuitäten darstellen kann; umgekehrt liefert das Ausschalten der Diffusion einen reinen Sprungprozess mit stückweise konstanten Pfaden zwischen Sprüngen. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt, wenn sowohl kleinskalige Fluktuationen als auch gelegentliche große Schocks relevant sind und Sprungankünfte durch Punktprozesse modelliert werden können; schließt Modelle aus, in denen Sprünge deterministisch, vollständig endogen ohne trennbare Intensität sind oder in denen Mikrostruktur die Zeitkontinuumsannahme verletzt. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen der Modellierung mit analytisch bequemen kontinuierlichen Diffusionen und diskreten Sprüngen, die für Tail‑Risiko nötig sind, sowie zwischen sparsamer Kalibrierung und dem Erfassen empirisch beobachteter Extremereignisse. ## Synthese Synthese Ein Sprung‑Diffusionsprozess erweitert Diffusionsmodelle durch Überlagerung eines stochastischen Sprungmechanismus, so dass die typische Entwicklung diffusionsartig ist, während seltene plötzliche Bewegungen explizit dargestellt werden, wodurch Alltagsschwankungen und abrupte Schocks gemeinsam modelliert werden können.