## [Satz von Noether](/de/node/59698) Definition Ein Satz, der kontinuierliche Symmetrien einer Wirkung (Variationsproblem) mit Erhaltungsgrößen der resultierenden Euler–Lagrange-Gleichungen verknüpft: jede differenzierbare Symmetrie entspricht einem konservierten Strom oder einer Erhaltungsgröße. ## Prinzip Prinzip Die Invarianz der Wirkung unter einer stetigen, parametrisierten Transformation impliziert das Vorhandensein einer über Lösungen der Euler–Lagrange-Gleichungen erhaltenen Größe; die Erhaltungsgröße wird aus der Symmetrie (Noether-Strom) konstruiert. ## Demonstration Demonstration Zeittranslationsinvarianz einer Wirkung führt zur Erhaltung der Energie der Bewegungsgleichungen; Raumtranslationsinvarianz führt zur Erhaltung des Impulses; Rotationsinvarianz führt zur Erhaltung des Drehimpulses. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anwendung von Noethers Satz auf Systeme ohne variationale (Wirkungs-)Formulierung, auf rein diskrete Symmetrien ohne Anpassung oder das Ignorieren von Randtermen kann zu falschen oder fehlenden Erhaltungsgrößen führen. ## Konsequenz Konsequenz Bietet ein systematisches Verfahren, Erhaltungsgrößen aus Symmetrien zu gewinnen, schränkt die Dynamik ein und erklärt, warum bestimmte Integrale der Bewegung erhalten bleiben; es bildet die Grundlage vieler Erhaltungsgesetze in der Physik und bei variationalen Problemen. ## Umkehrung Umkehrung Das Brechen einer kontinuierlichen Symmetrie (explizit oder spontan) hebt das zugehörige Erhaltungsgesetz auf und führt zu Nicht-Erhaltung oder zu modifizierten Erhaltungssätzen (z. B. mit Quellen- oder Anomalietermen). ## Abgrenzung Abgrenzung Setzt ein differenzierbares Wirkungprinzip und eine kontinuierliche Symmetrie voraus; gilt nicht unmittelbar für dissipative Systeme ohne Wirkung, für Systeme, die nur durch phänomenologische Gleichungen beschrieben werden, oder für Fälle, in denen Randterme naive Erhaltungsaussagen ungültig machen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Unterscheide zwischen globalen (starren) Symmetrien, die zu erhaltenen Ladungen führen, und lokalen (Eich-)Symmetrien, die eher zu Zwangsbedingungen oder redundanten Beschreibungen führen und nicht immer unmittelbare, eichinvariante Ladungen liefern; in quantisierten Theorien entstehen zudem Spannungen durch Anomalien. ## Synthese Synthese Noethers Satz verbindet die kontinuierliche Invarianz einer Wirkung mit den Erhaltungsgrößen der Euler–Lagrange-Dynamik: Symmetrie identifizieren, Noether-Strom konstruieren und eine erhaltene Größe gewinnen, die die Bewegung strukturiert und einschränkt.