## [Maximumprinzip des Betrags](/de/node/59680) Definition Satz der komplexen Analysis, der besagt: Ist f nicht konstant holomorph auf einer zusammenhängenden offenen Menge, so kann der Betrag |f| kein lokales (oder inneres) Maximum annehmen; ein globales Maximum von |f| auf einem beschränkten Gebiet liegt auf dem Rand, es sei denn f ist konstant. ## Prinzip Prinzip Der Betrag einer holomorphen Funktion verhält sich wie eine subharmonische Funktion (log|f| ist subharmonisch), daher sind innere Maxima für nicht konstante holomorphe Funktionen verboten; Holomorphie erzwingt Werte-Rigidität. ## Demonstration Demonstration Auf einer beschränkten Region D: Ist f holomorph mit |f(z0)| = max_D |f|, so impliziert die Subharmonizität von log|f|, dass log|f| konstant ist und folglich f konstant. Konkretes Beispiel: Ein nichtkonstanter Polynom erreicht seinen maximalen Betrag nicht im Inneren einer offenen beschränkten Menge, sondern nur auf deren Randkurve. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anwendung auf nicht-holomorphe Funktionen, auf meromorphe Funktionen ohne Behandlung von Polen oder auf zerlegte Gebiete; für harmonische Funktionen gilt das Maximumprinzip anders (für die Funktion selbst, nicht für ihren Betrag). ## Konsequenz Konsequenz Folgerungen sind u. a. der Satz vom offenen Bild (nichtkonstante holomorphe Abbildungen sind offen), Fortsetzbarkeit und starke Beschränkungen für Nullstellen und Niveaumengen; er liegt vielen Eindeutigkeits- und Extremalfragen in der komplexen Analysis zugrunde. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung zum Minimum benötigt Anpassung: Hat f keine Nullstellen, so ist 1/f holomorph und Anwendung des Maximumprinzips auf 1/f ergibt ein Minimumprinzip für |f|. Eine rohe Umkehrung, die innere Minima für beliebige holomorphe f behauptet, ist falsch, sofern nicht die reziproke Konstruktion anwendbar ist. ## Abgrenzung Abgrenzung Voraussetzung ist Holomorphie auf einer zusammenhängenden offenen Menge; Singularitäten und Verzweigungspunkte im Inneren sind ausgeschlossen. Aussagen für meromorphe Funktionen erfordern gesonderte Behandlung der Pole; bei harmonischen oder reell-analytischen Funktionen unterscheidet sich die Struktur. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Verwandt mit Maximumprinzipien für harmonische Funktionen, aber unterschiedlich: Das Maximumprinzip für den Betrag bezieht sich auf |f| und nutzt Analytizität (Subharmonizität von log|f|), während harmonische Prinzipien direkt reale Lösungen der Laplace-Gleichung betreffen. ## Synthese Synthese Das Maximumprinzip des Betrags fasst Analytizität zu einer Rigiditätsaussage zusammen: Eine nichtkonstante holomorphe Funktion kann ihren Betrag nicht im Inneren maximieren, was Offenheit, Eindeutigkeitseigenschaften und Kontrolle über Extremstellen nach sich zieht.