##  [Konsistenz](/de/node/59649) 

 Definition

Eigenschaft einer diskreten oder approximativen Formulierung, dass ihre lokale Formulierung die herrschenden Beziehungen des exakten (oft kontinuierlichen) Problems im Grenzfall idealer Verfeinerung reproduziert; üblicherweise ausgedrückt dadurch, dass der lokale Trunkierungsfehler gegen null geht, wenn Gitter- oder Schrittweite gegen null strebt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine Methode ist konsistent, wenn die Differenz zwischen diskretem Operator und kontinuierlichem Operator, angewandt auf hinreichend glatte Funktionen, unter idealer Verfeinerung verschwindet; Konsistenz ist notwendig für Konvergenz, jedoch ohne Stabilität nicht hinreichend.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Finite-Differenzen-Approximation der ersten Ableitung mit einem zentrierten Drei-Punkte-Schema: Durch Taylor-Entwicklung zeigt sich ein Trunkierungsfehler von O(h^2), der bei h→0 verschwindet und so die Konsistenz der Diskretisierung demonstriert.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, dass die alleinige Nachweisung von Konsistenz garantiert, dass numerische Lösungen auf einem gegebenen Gitter konvergieren; die Notwendigkeit, Stabilität zu prüfen oder Randapproximationen zu berücksichtigen, zu übersehen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Eine konsistente Diskretisierung stellt sicher, dass bei stabilen Verfahren die numerische Lösung dem exakten Ergebnis mit Verfeinerung näherkommt; sie legitimiert somit Verfeinerung als Weg zur Genauigkeit.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Inkonsistenz: Die diskreten Gleichungen nähern die kontinuierlichen Beziehungen nicht im Verfeinerungslimit an, sodass selbst beliebig feine Diskretisierungen einen endlichen Bias behalten und Konvergenz zur exakten Lösung verhindern können.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für formale Diskretisierungen und approximative Formulierungen, die aus exakten Gleichungen abgeleitet sind; sagt nichts über Konvergenzrate oder Stabilität aus, und klassische Konsistenzannahmen setzen hinreichende Glattheit der Zielösung voraus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Konsistenz wird manchmal mit Konvergenz oder Stabilität verwechselt; im Gegensatz zur Konvergenz (eine asymptotische Aussage) oder Stabilität (Reaktion auf Störungen) betrifft Konsistenz die algebraische Übereinstimmung von Operatoren unter Verfeinerung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Konsistenz ist die algebraische Verträglichkeit zwischen diskreten und exakten Formulierungen im Verfeinerungslimit; sie ist die strukturelle Voraussetzung, die zusammen mit Stabilität Konvergenz und damit genaue Approximationen ermöglicht.