## [Fixpunktiteration](/de/node/59625) Definition Ein iteratives Verfahren, das einen Fixpunkt x = G(x) einer Abbildung G sucht, indem G wiederholt auf eine Anfangsnäherung angewandt wird: x_{k+1} = G(x_k). Die Konvergenz hängt von Contractivity- bzw. ähnlichen Eigenschaften von G ab. ## Prinzip Prinzip Die ordnende Idee ist, das Problem als Suche nach einem selbstkonsistenten Punkt einer Abbildung umzuformulieren und dann die Abbildung wiederholt anzuwenden; der Banach-Fixpunktsatz liefert eine einfache hinreichende Bedingung (Kontraktion), die eindeutigen Fixpunkt und lineare Konvergenz garantiert. ## Demonstration Demonstration Löse x = cos(x) durch Iteration x_{k+1} = cos(x_k) mit Startwert x_0; da cos auf [0,1] eine Kontraktion ist, konvergieren die Iterierten zum eindeutigen Fixpunkt ≈0,739085, ein einfaches Beispiel für Picard-Iteration bei skalaren nichtlinearen Gleichungen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die naiven Fixpunktiteration auf eine Abbildung mit Lipschitz-Konstante ≥1 oder ohne geeignete Vorbedingung anzuwenden kann zur Nichtkonvergenz oder sehr langsamer Konvergenz führen; eine schlechte Umformulierung G(x) von f(x)=0 kann jeden Fortschritt verhindern. ## Konsequenz Konsequenz Ist die Abbildung kontraktiv oder geeignet gedämpft, liefert die Fixpunktiteration einen einfachen und robusten Löser mit vorhersagbarer linearer Konvergenz und geringem Aufwand pro Iteration; sie bildet die Grundlage vieler iterativer Verfahren einschließlich Picard-Liniearisierung für PDEs. ## Umkehrung Umkehrung Der Gegensatz ist die Newton-Liniearisierung: statt die ursprüngliche Abbildung wiederholt anzuwenden, löst Newton linearisierte Korrekturen und ermöglicht damit lokal deutlich schnellere Konvergenz (superlinear oder quadratisch) auf Kosten der Lösung linearer Systeme. ## Abgrenzung Abgrenzung Anwendbar, wenn sich eine Abbildung G konstruieren lässt, deren Fixpunkte dem Ausgangsproblem entsprechen und die kontraktive oder gemittelte Eigenschaften besitzt; schließt nichtstetige Abbildungen oder Probleme aus, bei denen nur die auf Ableitungen basierende schnelle Konvergenz akzeptabel ist. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zu Newton- und Quasi-Newton-Methoden: Fixpunktiteration ist günstiger und einfacher, jedoch langsamer; zudem besteht Spannung zu beschleunigten oder mehrstufigen Fixpunktverfahren, die Speicher oder Mischungen einsetzen, um Konvergenz zu verbessern. ## Synthese Synthese Fixpunktiteration formt ein Problem zu x = G(x) um und wendet G wiederholt an, wobei Kontraktivität oder Dämpfung die Konvergenz sichern; sie ist konzeptionell einfach, hat geringen Aufwand pro Schritt und ist Fundament vieler Linearisierungs- und Splittingverfahren, ihre Geschwindigkeit hängt jedoch entscheidend von den Eigenschaften der Abbildung ab.