##  [Greenfunktion](/de/node/59602) 

 Definition

Eine Kernfunktion G(x,s), die die Antwort eines linearen Differentialoperators L auf eine Punktquelle (Delta-Distribution) an s darstellt, so dass L[G(·,s)]=δ(·−s); sie wird verwendet, um partikuläre Lösungen linearer inhomogener Randwertprobleme durch Faltung oder Integration gegen Quellterme zu konstruieren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Superpositionsprinzip für lineare Operatoren: Da L linear ist, lässt sich die Antwort auf eine allgemeine Quelle f(x) als Integral des Greenschen Kerns gegen f darstellen, wodurch die Lösung u(x)=∫G(x,s)f(s)ds entsteht, ergänzt um homogeneous Lösungen, die durch Randbedingungen festgelegt werden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Lösung der Poisson-Gleichung −Δu=f in R^n: die Fundamentalslösung (Greensche Funktion) für −Δ liefert u als Faltung von f mit dem Greenschen Kern; in beschränkten Gebieten passt man den Kern an, um Randbedingungen zu erfüllen, und erhält u(x)=∫_Ω G(x,s)f(s)ds.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Verwendung einer Greenschen Funktion, die für einen anderen Operator oder für den freien Raum abgeleitet wurde, ohne Randbedingungen oder Operatorkoeffizienten anzupassen; Anwendung der Superpositionsformel auf eine nichtlineare PDG, bei der der Operator von u abhängt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtig identifiziert und mit der homogenen Lösung kombiniert, verwandelt die Greensche Funktion eine inhomogene PDG in eine explizite Integralrepräsentation; sie macht den Einfluss lokaler Quellen sichtbar und erleichtert analytische und numerische Auswertungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt die Antwort auf eine Punktquelle (Impuls→Antwort) darzustellen, fragt das Umkehrproblem nach der Quellverteilung aus beobachteten Antworten; das Invertieren der Integralbeziehung führt zur Rekonstruktion der Quellen statt zur Vorwärtsdarstellung mittels Green.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für lineare Differentialoperatoren (gegebenenfalls distributionsmäßig) und erfordert üblicherweise Randbedingungen; sie existiert nicht oder ist nicht nützlich für allgemeine nichtlineare Operatoren oder falls keine fundamentale Lösung mit den physikalischen Randbedingungen gefunden werden kann.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Greensche Funktion als distributionsmäßige Fundamentalslösung versus als randbedingter, problemspezifischer Kern: erstere ist der universelle Inversoperator im freien Raum, letztere ist eine an die Randbedingungen angepasste Konstruktion; beide Bedeutungen stehen terminologisch in Spannung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Greensche Funktion ist der Kern des Inversen eines linearen Operators bei PDEs: sie fasst die Punktquellenantwort zusammen und liefert durch Superposition und Integration partikuläre Lösungen, die zum Operator und zu den Randbedingungen passen.