## [Funktional](/de/node/59586) Definition Eine Abbildung von einem Funktionenraum in die reellen oder komplexen Zahlen (oder allgemeiner in einen Körper), die häufig eine Auswertung, Kostenfunktion oder zu optimierende Größe in Variationsproblemen darstellt. ## Prinzip Prinzip Verdichtet Informationen über ganze Funktionen in skalare Zusammenfassungen durch lineare oder nichtlineare Abbildungen, die auf globale Eigenschaften (Integrale, Supremum, Randwerte) reagieren und so Variationsrechnung und Dualität ermöglichen. ## Demonstration Demonstration Die Abbildung I[f] = ∫_0^1 f(x)^2 dx auf L^2(0,1) ist eine (nichtlineare) Funktionale, die die quadrierte L^2-Norm liefert; die Auswertung f ↦ f(x0) ist eine lineare Funktional auf Räumen stetiger Funktionen an festem x0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Funktionale mit einer gewöhnlichen Funktion (Abbildung R → R) zu verwechseln führt zu Kategoriierungsfehlern: das Argument als Punkt statt als ganze Funktion zu behandeln macht Ableitungsbegriffe wie Gateaux- oder Fréchet-Ableitung ungültig. ## Konsequenz Konsequenz Richtig angewandt ermöglichen Funktionale die Formulierung und Lösung von Variationsproblemen, die Herleitung von Euler–Lagrange-Bedingungen und den Aufbau dualer Probleme sowie Repräsentationssätze in reproduzierenden Kernelräumen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung ist eine punktweise Funktion: ein Objekt, das Werten Punkten des Definitionsbereichs zuordnet statt ganzen Funktionen; ähnlich spielt ein Operator, der Funktionen auf Funktionen abbildet, die strukturell entgegengesetzte Rolle zur skalaren Funktionale. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Abbildungen, deren Definitionsbereich ein Funktionenraum mit spezifizierter Topologie oder algebraischer Struktur ist; schließt punktweise definierte skalare Funktionen und Operatoren mit Funktionscodomain aus, außer wenn diese zur skalaren Ausgabe ausgewertet werden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Funktionalen und linearen Operatoren: Beide wirken auf Funktionenräumen, unterscheiden sich aber im Codomain (Skalare vs. Funktionen); zusätzlich überschneidet sich der Begriff mit 'funktional' in der Programmierung, wo andere Bedeutungen bestehen. ## Synthese Synthese Eine Funktionale ist eine skalarauswertende Messung auf einem Funktionenraum, welche globale Eigenschaften für Analyse und Optimierung erfasst; ihre Bedeutung hängt von der Struktur des Definitionsraums und den Regularitätsanforderungen für Differenzierbarkeit und Dualität ab.